こんにちは、MORIです。
今回の記事は、１問を解くのにたくさんのアプローチをしてみる、という趣旨の記事です。
別解を考えるということが具体的にどういうことなのか見ていきましょう！
また、たくさんの解法を見て、数学の面白さを感じていただけたらと思います。
１．問題紹介
今回扱うのは次の問題です。
答えを出すだけなら高校１年生でもできる内容です。
しかし、この１問からたくさんのことを学べます。
皆さんはいくつの解法が思いつきますか？
１つずつアプローチを見ていきましょう！
２．１文字消去して考える
改めて問題を見てみましょう。
x と y の２文字があるため、片方の文字を消去しようと思うのがまず鉄則として思い浮かぶのではないでしょうか。
k = x + y
の式を
y = k – x (②とします)
にして①の式に代入することにより、①の式は、
x2 + (k – x)2 = 1
2x2 – 2kx + k2 – 1 = 0 （③とします）
と変形できます。
次に何をすればいいのか、と思う人もいるかもしれません。
ここでは、x が実数であるため、③を x の２次方程式と見たときに、③が実数解をもつような k の値を求めるために、判別式を考えます。
それによって k の値の範囲が求まり、k の最大値、最小値が求まります。
解答を書くと以下のようになります。
３．対称式を使って考える
この問題を見て、x と y の対称式で解けそうだなあと考えた人もいるのではないでしょうか。
対称式のアプローチで解いてみましょう。
対称式の問題で重要なことは、すべてを基本対称式で表すことです。
x + y は k と置かれているので、xy は、
xy = s
とでもおきましょうか。
ここで大事なのは、x と y が実数であるための条件です。
x と y は、T の２次方程式、
T２-(x + y)T + xy = 0
すなわち、
T２– kT + s = 0 ･･･(＊)
の実数解であるから、x と y が実数であるための条件を求めるため、(＊)の判別式 D を考えます。
D ≧０が x と y が実数であるための条件です。
これにより、
k2 – 4s ≧ 0 ･･･②
を得ます。
ここまで出来たら、①を x + y と xy で、つまり、k と s で表して、
s = (k の式)
と変形します。
これを②に代入して得られる k の不等式を解き、k の範囲が求まり、k の最大値、最小値が求まります。
解答は以下のようになります。
４．線形計画法を使って考える
k = x + y というのを見て、図形と方程式の線形計画法を思い浮かべた人もいるのではないでしょうか。
k = x + y を変形して、
y = – x + k
とすることで、傾き -1 で y 切片 k の直線とみるというものでしたね。
点 ( x , y ) が存在するのが x2 + y2 = 1 上、つまり、原点中心の半径 1 の円の周上なので、円と直線が共有点を持つように k の値を決めます。
図を書けばわかりますが、円と直線が接するときが y 切片 k が最大、最小になります。
x または y を消去して2次方程式の判別式を考えてもいいですし、点と直線の距離の公式を使って解いてもいいです。
解答は点と直線の距離の公式を使って書きました。
５．三角関数を使って考える
個人的に、円の周上の点を cos と sin を使って表すのは、変数が１文字で θ だけになるのでお気に入りです。
また、今回は k = x + y という簡単な形ですが、仮に、k = x3 + 3y2 のような複雑な形になっても、この媒介変数表示だとなんてことないです。
ほかの解き方だと結構しんどいかなぁと思います。
では解答に行きましょう。
改めて確認すると、点 ( x , y )は x2 + y2 = 1 上、つまり、原点中心の半径 1 の円の周上の点であることから、θ ( 0 ≦ θ < 2π) を用いて、
( x , y ) ＝ ( cosθ , sinθ )
と置けます。
この時、
k = x + y
k＝ cosθ ＋ sinθ
k＝ √2sin ( θ＋π/4 ) です。
あとは普通の三角関数の問題と同じですね。
解答を書くと次のようになります。
６．内積を使って考える
この考え方ができる人は数学が得意な人なのではないかと思います。
x + y を、
「( x , y ) と ( 1 , 1 ) という2つのベクトルの内積」
と見ます。
点 ( x , y )は x2 + y2 = 1 上、つまり、原点中心の半径 1 の円の周上の点なので、
「( x , y ) というベクトルは、原点から x2 + y2 = 1 上に伸びた矢印」
とイメージしてもらえるといいと思います。
a と b の内積は、a と b のなす角を θ ( 0 ≦ θ ≦ π) とすると、
❘a❘❘b❘cosθ
です。
そのため、( x , y ) と ( 1 , 1 ) という2つのベクトルの内積が最大、最小になるのはそれぞれ、ベクトルの向きが同じ、反対になったときです。
大体考え方は分かったと思うので、解答を見ていきましょう。
(解答では、座標とベクトルを区別するために、ベクトルは縦に表記しました。)
７．この記事のまとめ
この記事では、１つの問題を５つのアプローチで解いてみました。
１つの問題で５つも別解があることはなかなかないと思いますが、別解を考えることは数学の力を身に付けるのに大きく役に立ちます。
また、自分の解答よりも別解の方が解答が簡単になったりすることも多いです。
そのため、入試本番で1つの解法しか思い浮かばないよりも、複数の解法が思い浮かんだ方が得点しやすくなるのは明らかです。
おまけ
ツイッターのDMで勉強に関する相談を受けようと思っています。下にアカウントに気軽にDMを頂けたらと思います。些細なことでも、問題の解説などなんでも聞いてください。(問題の解説は数学のみ)
＠_qz03
コメント